摘要：f^{-1}} 。 若一函数有反函数，便称此函数可逆。一函数可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。 若 f {\displaystyle f} 为一实函数，还可通过水平线测试判断其是否为单射、满射或双射。 一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。例如 f :。...f^{-1}} 。 若一函数有反函数，便称此函数可逆。一函数可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。 若 f {\displaystyle f} 为一实函数，还可通过水平线测试判断其是否为单射、满射或双射。 一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。例如 f :。
双射法是组合数学中的一种重要的证明方法，用来证明两个有限集合A和B的元素数目相等。证明的思路是构造一个双射映射f : A → B，于是根据双射的性质，A和B的元素数目就是相等的。这个证明是构造法证明的一种。由于双射法是给出具体的映射构造，而不是分别点算两个集合，所以不需要知道两个集合的元素个数。这。
shuang she fa shi zu he shu xue zhong de yi zhong zhong yao de zheng ming fang fa ， yong lai zheng ming liang ge you xian ji he A he B de yuan su shu mu xiang deng 。 zheng ming de si lu shi gou zao yi ge shuang she ying she f : A → B ， yu shi gen ju shuang she de xing zhi ， A he B de yuan su shu mu jiu shi xiang deng de 。 zhe ge zheng ming shi gou zao fa zheng ming de yi zhong 。 you yu shuang she fa shi gei chu ju ti de ying she gou zao ， er bu shi fen bie dian suan liang ge ji he ， suo yi bu xu yao zhi dao liang ge ji he de yuan su ge shu 。 zhe 。
具体范畴中的单同态通常为单射（injective）函数。 双同态（bimorphism）：若f既是满同态也是单同态，则称f为双同态（bimorphism）。 注意每个同构都是双同态，但不是每个双同态都是同构。例如，交换环的范畴中，包含映射Z → Q是一个双同态，但不是一个同构。如果在一个范畴中每个双。
满射或盖射（英语：surjection、onto），或称满射函数或映成函数，一个函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} 为满射，则对于任意的陪域 Y {\displaystyle Y} 中的元素 y {\displaystyle y} ，在函数的定义域。
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因此，此集合范畴之函数复合为態射复合。 函数复合满足结合律，且具单位函数，因此集合范畴为一范畴。 由于罗素悖论，即所有集合的全体不能作为一个集合而存在，Set的对象类为一真类。故Set为大范畴。 Set的满态射为满射函数，单态射为单射函数，同构态射为双射函数。 Set的始对象为空集，终对象为任意单元素集合。Set无零对象。。
C\end{matrix}}\right.} 如果a不在集合C中，那么a不在集合C0中。因此由C0的定义可知a ∈ g[B]。由于g是单射，其逆映射g –1(a)存在。 接下来验证 h : A → B 就是想要的双射。 满射：对任何 b ∈ B，如果 b ∈ f[C]，那么存在 a ∈ C 使得 b = f(a)。因此由h的定义可知。
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到 (T, ≤T) 的序同构是满射函数 h : S → T 使得对于所有 S 中的 u 和 v 有 h(u) ≤T h(v) 当且仅当 u ≤S v。 在这种情况下，偏序集合 S 和 T 被称为序同构。注意上述定义特征序同构为满射序嵌入。还应该注意序同构必然是单射的。因此另一个序同构的特征也是可能的:。
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{\displaystyle -1} ；它同构于 Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 。 满同态是满射的同态，单同态是单射的同态。 如果 G {\displaystyle G} 和 H {\displaystyle H} 是阿贝尔群（就是交换群），则所有从。
g 1 = g 2 {\displaystyle g_{1}=g_{2}} 若 f {\displaystyle f} 即是单态射也是满态射，则为双态射。 同构：若有态射 g : b → a {\displaystyle g:\ b\to a} ，如 f ∘ g = 1 b {\displaystyle。
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单射但非满射的函数（不是双射函数） 单射且满射的函数（是双射函数） 非单射但满射的函数（不是双射函数） 非单射也非满射的函数（也不是双射函数） 由从X 映射至Y 的单射函数所组成的集合標记为YX，该符号的由来为下降阶乘冪。当X 及Y 分別为具有m 个及n 个元素的有限集合时，从X 映射至Y 的单射函数数量可以以下降阶乘冪表示为nm。。
\mathbb {N} =\left\{1,2,3,\ldots \right\}} 存在单射函数，则 S {\displaystyle S} 称为可数集。 如果 S {\displaystyle S} 还是满射，则同样是双射，则称 S {\displaystyle S} 是无限可数集。 换句话说，一个集合要想是无限可数集，它要和自然数集。
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{\displaystyle R_{f}} 称为 A {\displaystyle A} 在 f {\displaystyle f} 作用下的像。 同态 态射 单射 满射 单射、双射与满射 The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mapping. Math。
（在一些参考书中，“一一”用来指双射，但是这里不用这个较老的用法。） 下图对比了四种不同的情况： 双射（单射与满射） 单射但非满射 满射但非单射 非满射非单射 一个映射称为单射（一对一）如果每个可能的像最多只有一个变量映射其上。等价的有，一个映射是单射如果它把不同值映射到不同像。一个单射映射简称单射。形式化的定义如下。。
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可推得g1 = g2. 双态射，若且唯若f 既是单态射又是满态射 收缩（retraction），若且唯若它有右逆，也就是说，如果存在一个态射g : b → a满足fg = 1b。收缩又被称作分裂满态射。 截面（section），若且唯若它有左逆，也就是说，如果存在一个态射g : b → a满足gf。
{\displaystyle Y} 內的 y {\displaystyle y} 与其对应，则此函数为对射函数。 换句话说，如果其为两集合间的一一对应，则 f {\displaystyle f} 是双射的。即，同时为单射和满射。 例如，由整数集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 至 Z。
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同构（isomorphism）：就是双射的同态。两个对象称为同构的，如果存在相互间的同构映射。同构的对象就其上的结构而言是无法区分的。 满同态（epimorphism）：就是满射的同态。 单同态（monomorphism）：（有时也称扩张）是单射的同态。 双同态（bimorphism）：若f既是满同态也是单同态，则称f为双同态。。
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在数学里，水平线测试为一测试方法，用来判断一函数是否为单射、满射或双射。 设一带有图像的函数为f : X → Y，接著使用X x Y上的水平线 y 0 ∈ Y , { ( x , y 0 ) : x ∈ X } = ( X × y 0 ) {\displaystyle y_{0}\in Y,\ \{(x。
双射的环同态称为环同构。 定义域与值域相同的环同态称为环自同态。 在环范畴中，单射的环同态与单同态是相等的：如果f:R→S是单同态而不是单射，则它把某个r1和r2映射到S的同一个元素。考虑从Z[x]到R的两个映射g1和g2，分别把x映射到r1和r2；f o g1和f o g2是相等的，但由于f是单同态，这是不可能的。。
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如果两个拓扑空间{X,TX}和{Y,TY}之间的函数f : X → Y具有下列性质： f是双射（单射和满射）； f是连续的； 反函数f−1也是连续的（f是开映射）。 则称{X,TX}和{Y,TY}同胚，它满足以上三个性质的函数有时称为双连续。自同胚就是从一个拓扑空间到它本身的同胚。同胚形成了所有拓扑空间的类上的等价关系。所得到的等价类称为同胚类。。
{\displaystyle S\subseteq A} ，可以记作 g | S : S → B {\displaystyle g|_{S}:S\rightarrow B} 。 自然定义域：函数表达式在实数域中有意义的所有自变量的集合。 实际定义域：问题的实际背景所要求的取值范围。 陪域 值域 单射 满射 双射。
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