摘要：g_{1}=g_{2}.} 单態射是单射函数（或称为一对一函数）在范畤论里的延伸。单態射的对偶概念为满態射，后者为满射函数的延伸。一態射於范畴C 里为单態射，则该態射於对偶范畴Cop 里为满態射。 具左反元素的態射必为一单態射。因为，如一態射f 具有一左反元素l（即l 为一態射，且 l ∘ f = id。...g_{1}=g_{2}.} 单態射是单射函数（或称为一对一函数）在范畤论里的延伸。单態射的对偶概念为满態射，后者为满射函数的延伸。一態射於范畴C 里为单態射，则该態射於对偶范畴Cop 里为满態射。 具左反元素的態射必为一单態射。因为，如一態射f 具有一左反元素l（即l 为一態射，且 l ∘ f = id。
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{\displaystyle -1} ；它同构于 Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 。 满同态是满射的同态，单同态是单射的同态。 如果 G {\displaystyle G} 和 H {\displaystyle H} 是阿贝尔群（就是交换群），则所有从。
{ \ d i s p l a y s t y l e - 1 } ； ta tong gou yu Z / 2 Z { \ d i s p l a y s t y l e \ m a t h b b { Z } / 2 \ m a t h b b { Z } } 。 man tong tai shi man she de tong tai ， dan tong tai shi dan she de tong tai 。 ru guo G { \ d i s p l a y s t y l e G } he H { \ d i s p l a y s t y l e H } shi e bei er qun （ jiu shi jiao huan qun ） ， ze suo you cong 。
如果R是一个域，则f要么是单射，要么是零函数。（但是，如果f保持乘法单位元，则它不能是零函数）。 如果R和S都是域，则im(f)是S的一个子域（如果f不是零函数）。 如果R和S是交换环，S没有零因子，则ker(f)是R的一个素理想。 如果R和S是交换环，S是一个域，且f是满射，则ker(f)是R的一个最大理想。。
{\displaystyle Y} 內的 y {\displaystyle y} 与其对应，则此函数为对射函数。 换句话说，如果其为两集合间的一一对应，则 f {\displaystyle f} 是双射的。即，同时为单射和满射。 例如，由整数集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 至 Z。
因此，此集合范畴之函数复合为態射复合。 函数复合满足结合律，且具单位函数，因此集合范畴为一范畴。 由于罗素悖论，即所有集合的全体不能作为一个集合而存在，Set的对象类为一真类。故Set为大范畴。 Set的满态射为满射函数，单态射为单射函数，同构态射为双射函数。 Set的始对象为空集，终对象为任意单元素集合。Set无零对象。。
在范畴论中，正规態射是一类可以自然地分解成单射与满射的態射。使所有態射皆为正规態射的范畴称为正规范畴。 设 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 为一个有有限射影极限与归纳极限的范畴。设 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 为態射。设 p 1。
f}的左逆存在。即有态射g: b→a{\displaystyle g:\ b\to a}和g∘f=1a{\displaystyle g\circ f=1_{a}}。 屈态射必为满态射，切态射必为单态射。另外，下面三条表述等价： f{\displaystyle f}是单态射，也是屈态射； f{\displaystyle。
同构（isomorphism）：就是双射的同态。两个对象称为同构的，如果存在相互间的同构映射。同构的对象就其上的结构而言是无法区分的。 满同态（epimorphism）：就是满射的同态。 单同态（monomorphism）：（有时也称扩张）是单射的同态。 双同态（bimorphism）：若f既是满同态也是单同态，则称f为双同态。。
证明：我们使用Φ(a)m = am定义「左规则表示」为Φ : A → Hom(I)，对於m ∈ I。Φ是单射的，因为如果a ⋅ I = aAe = 0，则aA = aAeA = 0，暗示a = a ⋅ 1 = 0。 对於满射，设T ∈ Hom(I)。由於AeA = A，元素1可以表达成1 = Σaiebi。因此 T(m)。
单射但非满射的函数（不是双射函数） 单射且满射的函数（是双射函数） 非单射但满射的函数（不是双射函数） 非单射也非满射的函数（也不是双射函数） 由从X 映射至Y 的单射函数所组成的集合標记为YX，该符号的由来为下降阶乘冪。当X 及Y 分別为具有m 个及n 个元素的有限集合时，从X 映射至Y 的单射函数数量可以以下降阶乘冪表示为nm。。
Rf{\displaystyle R_{f}} 称为A{\displaystyle A}在f{\displaystyle f}作用下的像。 同态 态射 单射 满射 单射、双射与满射 The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mapping. Math。
射亦为由C和D內的態射所组成的对。这些对的態射复合是由各元素各自复合。 一个态射f : a → b被称为 单态射，若且唯若对于所有的态射g1, g2 : x → a，fg1 = fg2可推得g1 = g2. 满态射，若且唯若对于所有的态射g1, g2 : b → x，g1f。
满射或盖射（英语：surjection、onto），或称满射函数或映成函数，一个函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} 为满射，则对于任意的陪域 Y {\displaystyle Y} 中的元素 y {\displaystyle y} ，在函数的定义域。
{\displaystyle f} 本身也带该性质。 若一个態射在拓扑空间上是开映射，则称此態射为开態射；闭態射的定义类似。平坦態射皆为开態射。 若 f ( Y ) {\displaystyle f(Y)} 在 X {\displaystyle X} 中稠密，则称此態射为优势態射（英文：dominant morphism，法文：morphisme。
g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}} 成立。它也称为mono或者monic.具体范畴中的单同态通常为单射（injective）函数。 双同态（bimorphism）：若f既是满同态也是单同态，则称f为双同态（bimorphism）。 注意每个同构都是双同态，但不是每个双同态都是同构。例如，交换环的范畴中，包含映射Z。
X} 都存在內射对象 I {\displaystyle I} 及单射 X → I {\displaystyle X\to I} ，则称 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 有充足內射元。对於有充足投射元（或內射元）的阿贝尔范畴，可以考虑对象的投射分解（或內射分解）。。
到 (T, ≤T) 的序同构是满射函数 h : S → T 使得对于所有 S 中的 u 和 v 有 h(u) ≤T h(v) 当且仅当 u ≤S v。 在这种情况下，偏序集合 S 和 T 被称为序同构。注意上述定义特征序同构为满射序嵌入。还应该注意序同构必然是单射的。因此另一个序同构的特征也是可能的:。
双射法是组合数学中的一种重要的证明方法，用来证明两个有限集合A和B的元素数目相等。证明的思路是构造一个双射映射f : A → B，于是根据双射的性质，A和B的元素数目就是相等的。这个证明是构造法证明的一种。由于双射法是给出具体的映射构造，而不是分别点算两个集合，所以不需要知道两个集合的元素个数。这种。
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f^{-1}} 。 若一函数有反函数，便称此函数可逆。一函数可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。 若 f {\displaystyle f} 为一实函数，还可通过水平线测试判断其是否为单射、满射或双射。 一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。例如 f : R。
（在一些参考书中，“一一”用来指双射，但是这里不用这个较老的用法。） 下图对比了四种不同的情况： 双射（单射与满射） 单射但非满射 满射但非单射 非满射非单射 一个映射称为单射（一对一）如果每个可能的像最多只有一个变量映射其上。等价的有，一个映射是单射如果它把不同值映射到不同像。一个单射映射简称单射。形式化的定义如下。。
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